Essai clinique pour le traitement d'une maladie

Dans le cadre d’un essai clinique, on envisage un protocole de traitement d’une maladie. L'objectif est d’étudier l’évolution de la quantité de médicament présente dans le sang d’un patient en fonction du temps.
On injecte initialement au patient une dose de `2` mg de médicament, puis on réinjecte toutes les heures une dose de \(1{,}8\) mg.
On estime que, lorsqu'une heure s'est écoulée après une injection, la quantité de médicament dans le sang a diminué de `30%`par rapport à la quantité présente immédiatement après cette injection.
On modélise cette situation à l'aide de la suite `(u_n)` où, pour tout entier naturel `n`, `u_n` désigne la quantité de médicament, exprimée en mg, présente dans le sang du patient immédiatement après l'injection de la `n`-ième heure.
On a donc `u_0 = 2`.

1. Déterminer `u_1` et préciser sa signification dans le contexte de l'énoncé.
2. Déterminer la quantité de médicament présente dans le sang après 3 heures.
3. Justifier que, pour tout entier naturel `n`, on a \(u_{n+1} = 0{,}7u_n + 1{,}8\). 
4. À l'aide de la calculatrice, déterminer puis représenter les dix premiers termes de la suite `(u_n)`.
5. En observant le nuage de points obtenu, quelle conjecture peut-on faire sur l'évolution de la quantité de médicament présente dans le sang à long terme ?